Định lý Fuhrmann

Trong hình học Euclid, định lý Fuhrmann phát biểu như sau: Cho lục giác lồi $ABCDEF$ nội tiếp^[1]^[2]. Khi đó: $AD.BE.CF=AB.CD.EF+AF.BC.DE+AB.DE.CF+BC.EF.AD+CD.AF.BE$

Chứng minh

Định lý Fuhrmann được chứng minh bằng cách sử dụng định lý Ptoleme cho các tứ giác ABDE, BCDF, ADEF, ABEF

$AD.BE=AB.DE+AE.BD$ ,

$BD.CF=BC.DF+BF.CD$ ,

$AE.DF=AD.EF+AF.DE$ ,

$AE.BF=AB.EF+AF.BE$ .

Nhân cả hai vế của phương trình đầu tiên với $CF$ , chúng ta có: $AD.BE.CF=AB.DE.CF+AE.BD.CF.$

Tiếp theo chúng ta thay thế BD.CF bởi $BC.DF+BF.CD$ trong hệ số thứ hai ở vế phải ta có: $AD.BE.CF=AB.DE.CF+AE.BC.DF+AE.BF.CD.$

Sử dụng phương trình thứ ba và bốn ta thay thế $AE.DF$ bởi $AD.EF+AF.DE$ , và $AE.BF$ bởi $AB.EF+AF.BE$ . Định lý được chứng minh.^[3]

Xem thêm

Tham khảo

^ Fuhrmann, W. Synthetische Beweise Planimetrischer Sätze. Berlin, p. 61, 1890.
^ Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 65-66, 1929.
^ Fuhrmann's theorem

Liên kết ngoài

Fuhrmann's Theorem tại MathWorld

Bài viết liên quan đến toán học này vẫn còn sơ khai. Bạn có thể giúp Wikipedia mở rộng nội dung để bài được hoàn chỉnh hơn.

[1] Fuhrmann, W. Synthetische Beweise Planimetrischer Sätze. Berlin, p. 61, 1890.

[2] Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 65-66, 1929.

[3] Fuhrmann's theorem

[1]

[2]

[3]